Soient \(x=(x_1,x_2)\) et \(y=(y_1,y_2)\) appartenant à \({\Bbb R}^2\)
Montrer que $$\langle x,y\rangle=x_1y_1+2x_1y_2+2x_2y_1+5x_2y_2$$ est un produit scalaire sur \({\Bbb R}^2\)

Exprimer \(q\) avec des carrés

On a $$q(x)=(x_1+2x_2)^2+x_2^2\geqslant0\quad\text{ si }x\gt 0$$

Soient \(E_1,E_2\) des sous-espaces d'un espace euclidien tels que \(\operatorname{dim} E_1\lt \operatorname{dim} E_2\)
Démontrer que \(E_2\) contient un vecteur non nul, orthogonal à tous les vecteurs de \(E_1\)

Intersection nulle \(\to\) somme directe
On a \(E_1\oplus E_1^\perp=E\) car \(E_1\cap E_1^\perp=\{0\}\)
Puisque \(E\) est euclidien, il ne contient pas de vecteurs isotropes non nuls

Majorer la somme des dimensions en changeant le \(E_i\)
De plus, $$\operatorname{dim} E_1+\operatorname{dim} E_1^\perp=n\implies\operatorname{dim} E_2+\operatorname{dim} E_1^\perp\geqslant n+1$$

Conclusion via formule de Grassmann (avec la somme directe et la somme des dimensions)

Enfin, $$\operatorname{dim}(E_2+E_1^\perp)=\operatorname{dim} E_2+\operatorname{dim} E_1^\perp-\operatorname{dim}(E_2\cap E_1^\perp)$$ d'où \(\operatorname{dim}(E_2\cap E_1^\perp)\geqslant n+1-n=1\)

(Formule de Grassmann)